Berechnung der Bestrahlungsstärke der Sonne bei klarem Himmel nach DIN 5034-2

Sırrı AYDINLI, Engin BAGDA

Einleitung

Die Sonne ist als regenerative Energiequelle für das Wohnklima von großer Bedeutung. Im Winter reduziert es den Wärmebedarf und im Sommer kann es zur Überhitzung von Räumen führen. Die Sonnenstrahlung kann am Gebäude zum Erzeugen von Strom und Zubereitung von Wärmegenutzt werden.

Die Sonnenstrahlung wird mit der Bestrahlungsstärke in W/m2 beziehungsweise Sonnenbestrahlung kWh/m² quantifiziert. Die Bestrahlungsstärke der Solarstrahlung ist vom Standort des Gebäudes sowie von der Tages- und Jahreszeit abhängig. Die Bestrahlungsstärke auf eine Fläche wird im Allgemeinen an horizontalen Flächen gemessen und als „Globalbestrahlungsstärke„ bezeichnet.

Die Bestrahlungsstärke auf eine nicht horizontale Fläche kann aus der Bestrahlungsstärke der horizontalen Globalstrahlung abgeleitet werden.

Der Algorithmus “SunDaily.py“ in https://github.com/Heating-and-cooling/sun_daily berechnet für einen Standort die stündliche Gesamtstrahlung auf senkrechte Flächen, wie Wände und Fenster, für jeden Tag des Jahres. Das Resultat entspricht Tabelle 7 ff der DIN 4710:2003-1“ Statistiken meteorologischer Daten zur Berechnung des Energiebedarfs von heiz- und raumlufttechnischen Anlagen in Deutschland.

Der Algorithmus, der dem Python-Programm “SunDaily.py“ zugrunde liegt ist unten erklärt. Es werden die Gleichungen, Begriffe und Abkürzungen verwendet, die auch in dem Programm SunDaily.py verwendet werden. Die Vorgehensweise und die Begriffe entsprechen im Wesentlichen der DIN 5034 „Tageslicht in Innenräumen – Teil 2: Grundlagen“. Sie werden in der Reihenfolge erklärt, wie es für die Berechnung notwendig ist.

Bei der Berechnung werden die Winkelfunktionen zum Teil als Grad (°) (degree) und zum Teil in Radiant benutzt. Diese sind entsprechend gekennzeichnet.
 

Die extraterrestrische Bestrahlungsstärke “SC“:

“SC“ ist die Bestrahlungsstärke der extraterrestrischen(außerhalb der Erdatmosphäre)Sonnenstrahlung in W/m². Diese ändert sich im Jahresverlauf mit dem Abstand der Erde zur Sonne (Gleichung 1).

SC = 1367.7 * (1 + 0.033 * math.cos(math.pi * 2 * day / 365))                                                (1)

SC :        extraterrestrische Bestrahlungsstärke am jeweiligen Tag „day“

1367,7 : Solarkonstante, Mittelwert der extraterrestrischen Bestrahlungsstärke in W/m²über das Jahr

„day“:   Tageszahl im Jahr, Beispiel: Der 20 März ist day=81

Die direkte Bestrahlungsstärke auf die Normalfläche “Normal_direct“:

“Normal_direct“ ist die Bestrahlungsstärkeder Sonnenstrahlung bei senkrechtem Einfall auf eine Fläche in W/m².

Beim Durchdringen der Atmosphärenimmt die extraterrestrische Bestrahlungsstärke in Abhängigkeit dem Trübungsfaktor nach Linke “TF“ , der durchdrungenen Luftmasse “Air_Mass“, sowie der Höhe des Standortes“Height“  ab (Gleichung 2).

Normal_direct = SC * math.exp(-TF * Air_mass * math.exp(-Height/8000))                          (2)

Der Trübungsfaktor nach Linke “TF”:

Der Trübungsfaktor nach Linke ist ein Maß für die Streu- und Absorptionsverluste in der Erdatmosphäre. Es beschreibt, wie rein die Atmosphäre ist, und gibt an, wie vielen Rayleigh-Atmosphären der Zustand der Atmosphäre entspricht. Ein Trübungsfaktor von 1 entspricht hierbei einer idealen Atmosphäre. Der Trübungsfaktor ist von der Anzahl der in der Luft enthaltenen Partikel abhängig. Somit ist es in einer Stadt oder in Industriegebieten höher als in Bereichen mit einer geringen Luftverschmutzung. Weitere zeitliche Schwankungen kommen dadurch hinzu, dass der Wassergehalt der Luft zwischen Sommer (mehr Wasserdampf) und Winter (weniger Wasserdampf) schwankt. In dem Programm “SunDaily.py“ wird mit den Trübungsfaktorenaus der DIN 4710: 2003-01, Tabelle 7, Monatsmittelwerte gerechnet.

Die Durchdrungene Luftmasse “Air_mass“:

“Air_mass“ ist das Produkt aus der mittleren optischen Dicke der reinen, trockenen Rayleight-Atmosphäre und der relativen optischen Luftmasse. Eine Rayleight-Atmosphäre ist frei von Partikeln sowie Wasserdampf und besteht im Wesentlichen aus den Gasen N₂, O₂, CO₂.

Wenn die Sonne am Zenit ist (senkrecht zur Erdoberfläche) wird die Erdatmosphäre auf dem kürzesten Weg durchstrahlt. Mit abnehmender Sonnenhöhe nimmt “Air_mass“ mit dem Sinus der Sonnenhöhe (Elevation) zu (Gleichung 3).

Air_mass = 1/(0.9 + 9.4 * math.sin(math.radians(Elevation_deg)))                                        (3)

Die Höhe des Ortes “Height“:

Die Bestrahlungsstärke ist neben der durchdrungenen Luftmasse auch von der Dichte der Luft abhängig. Die Dichte der Luft ist proportional dem Luftdruck. Der Luftdruck ist wiederum exponentiell proportional der Höhe des Ortes. Mit steigender Höhe des Ortes von Normalnull (Meereshöhe) nimmt die Dichte der Luft ab. Das Verhältnis p/p₀ des Luftdrucks p am Ort zum Luftdruck bei Normalnull p₀nimmt exponentiell mit der Höhe ab. Als Bezugspunkt wird der Luftdruck bei 8000 m Höhe über Normalnull genommen.

math.exp(-Height / 8000)

Sonnenhöhe “Elevation_deg“ beziehungsweise Sonnenzenitwinkel “Zenith_deg“:

Die Sonnenhöhe “Elevation_deg“ in (°) berechnet sich aus dem Sonnenzenitwinkel in (°) “Zenith_deg“ nach (Gleichung 4).

Elevation_deg = 90 –Zenith_deg                                                                                                               (4)

“Zenith_deg“berechnet sich nach (Gleichungen 5 und 6) aus dem geographischen Breitengrad des Standortes “Latitude“, der Deklination der Sonne “Declination“ sowie der Zeitgleichung “Hour_Angle“.

Cos_Zenith_rad = math.sin(Latitude_rad) * math.sin(Declination_rad) + math.cos(Latitude_rad) * math.cos(Declination_rad) * math.cos(Hour_Angle_rad)          (5)

Zenith_rad = math.acos(Cos_Zenith_rad)                                                                                                    (6)

Sonnendeklination “Declination_rad“:

Die Sonnendeklination ist die Neigung der Erdachse gegen den Himmelsäquator. Dieser beträgt zur Wintersonnenwende am 21. Dezember +23,43° und zur Sommersonnenwende am 21. Juni −23,43°. Sie kann nach Spancer, Reno, Hansen, Stein mit Gleichung 7 berechnet werden.

Declination_rad = 0.006918 - 0.399912 * math.cos(fy_rad) + 0.070257 * math.sin(fy_rad) - 0.006758 * math.cos(2 * fy_rad) + 0.000907 * math.sin(2 * fy_rad) - 0.002697 * math.cos(3 * fy_rad) + 0.00148 * math.sin(3 * fy_rad)                                                         (7)

In Gleichung 7 ist der Winkel “fy_rad“ der Winkel in Radiant, den die Erde pro Tag zurücklegt, indem 2∙π  durch 365 Tage dividiert werden (Gleichung 8).

fy_rad = (2 * math.pi / 365) * (day - 1)                                          (8)

Der Stundenwinkel “Hour_Angle“:

Der Stundenwinkel “Hour_Angle“ ist der Winkel zur Stunde “hour“ am Standort zwischen dem Stand der Sonne und der Sonne um 12:00 Uhr. Der Stundenwinkel wird nach Gleichung 9 in (°) und nach Gleichung 10 in  Radiant berechnet. Um 12:0O Uhr ist “Hour_Angle = 0“ (siehe Gleichungen10 und 11).

Hour_Angle_deg = (hour - 12) * 15                                                                                          (9)

Hour_Angle_rad = math.radians(Hour_Angle_deg)                                                               (10)

Abweichend von der Annahme oben und der allgemeinen Meinung, dass die Sonne auf dem Himmelsäquator sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit bewegt und exakt um 12:00 Uhr den Meridian überquert (mittlere Tageszeit), ist nicht richtig. Die Sonne geht im Jahresverlauf zeitweilig gegenüber der mittleren Tageszeit vor und nach. Dieses kann mit der sogenannten Zeitgleichung berechnet werden, auf das hier verzichtet wurde, da die Schwankungen zwischen 12 und 24 Minuten betragen und das Ergebnis die Bestrahlungsstärke nicht wesentlich beeinflusst.

Bestrahlungsstärken auf horizontaler Fläche

Das Messen der direkten Bestrahlungsstärke durch die Sonne auf die Normalfläche “Normal_direct“ ist kompliziert, da die Messung der Sonnenbewegung in der Weise folgen muss, dass die Strahlung der Sonne immer senkrecht auf diese fällt. Deswegen wird im Allgemeinen mit der horizontalen Bestrahlungsstärke operiert, die leichter zu messen ist und diese wird als die Globalbestrahlungsstärke bezeichnet.

Globalbestrahlungsstärke “Horizontal_global“:
Die Globalstrahlung setzt sich aus der horizontalen Direktstrahlung (schattengebend) (Gleichung 12) und der Diffusstrahlung (Gleichung 13) zusammen (Gleichung 11).

Horizontal_global = Horizontal_direct + Horizontal_sky_                                                      (11)

Die direkte horizontale Bestrahlungsstärke “Horizontal_direct“:

Die direkte Bestrahlungsstärke durch die Sonne auf eine horizontale Fläche ist dem Cosinus des Einfallwinkels proportional (Gleichung 12). Der Einfallswinkel auf eine horizontale Fläche ist der Zenit Winkel der Sonne. Der Zenit ist der Punkt senkrecht zum Standort. Am Zenit (am höchsten Punkt der Himmelhalbkugel) ist der Zenitwinkel 0°.

Horizontal_direct = Normal_direct * math.cos(Zenith_rad)                                                  (12)

Die diffuse horizontale Bestrahlungsstärke vom Himmel “Horizontal_sky“:

Die diffuse Bestrahlungsstärke “Horizontal_sky“ ist neben anderen Variablen vom Transmissionsgrad “TaM“ abhängig und wird nach (Gleichung 13).

Horizontal_sky = 0.5 * SC * (math.sin(math.radians(Elevation_deg)))  * (TaM - math.exp(-TF * Air_mass *  math.exp(-Height/8000)))                                                                                                       (13)

Transmissionsgrad der Atmosphäre bezüglich Absorption “TaM“:

Der Transmissionsgrad der Atmosphäre „TaM“ ist ein Maß für den Anteil an Teilchen in der Luft, die das Licht streuen. „TaM“ ist für den diffusen Anteil der Bestrahlungsstärke von Bedeutung. “TaM“ wird nach “DIN 5034-2: 2021-08“ aus der Sonnenhöhe “Elevation_deg“ und dem Trübungsfaktor “TF“ nach (Gleichung 14) berechnet.

TaM = 1.294 + 2.4417 * 10 ** -2 * Elevation_deg - 3.973 * 10 ** -4 * Elevation_deg ** 2

TaM = TaM + 3.8034 * 10 ** -6 * Elevation_deg ** 3 - 2.2145 * 10 ** -8 * Elevation_deg ** 4

TaM = (TaM + 5.8832 * 10 ** -11 * Elevation_deg ** 5) * (0.506 - 1.0788 * 10 ** -2 * TF) (14)

Bestrahlungsstärke auf eine geneigte Fläche “Surface_total”:

Die Bestrahlungsstärke auf eine geneigte Fläche “Surface_total” setzt sich analog zur Globalbestrahlungsstärke aus der direkten “Surface_direct” und diffusen Bestrahlungen “Surface_diffuse” zusammen (Gleichung 15).

Surface_total = Surface_direct + Surface_diffuse                                                                  (15)

Die direkte Bestrahlungsstärke auf eine geneigte Fläche “Surface_direct“:

Die direkte Bestrahlungsstärke auf eine geneigte Fläche hängt vom Cosinus des Einfallswinkels “math.cos(IA_rad)“ der Strahlung auf die vertikale Fläche ab (Gleichung 16).

Surface_direct = Normal_direct * math.cos(IA_rad)                                                             (16)

Berechnen des Einfallwinkels der Sonnenstrahlung auf eine geneigte Fläche “IA_rad“:

Der Einfallswinkel auf eine geneigte Fläche wird mit dem Sonnenzenitwinkel “Zenith_rad“ (90°-Sonnenhöhe), der Neigung der Fläche von der Horizontalen “Surface_Tilt_rad“, dem Azimut (Orientierung) der Fläche “Surface_Azimuth_rad“ sowie dem Azimut der Sonne „Azimuth_rad” berechnet (Gleichung 17).

IA_rad = math.cos(Zenith_rad) * math.cos(Surface_Tilt_rad)

IA_rad = IA_rad + math.sin(Surface_Tilt_rad) * math.sin(Zenith_rad)

IA_Rad = IA_rad * math.cos(abs(Azimuth_rad - Surface_Azimuth_rad))

IA_rad = math.acos(IA_rad)                                                                                                    (17)

Der Azimut der Sonne ist die Orientierung der Sonne im Tagesverlauf. Sie ist bei dem Programm “SunDaily.py“ für Norden 0°, für Osten 90°, für Süden 180° und für den Westen 270°.

Die diffuse Bestrahlungsstärke auf eine geneigte Fläche “Surface_diffuse“:

Die diffuse Bestrahlungsstärke auf geneigte Fläche setzt sich aus der diffusen Strahlung aus dem Himmel “Surface_sky“ und der Bestrahlung aus der Umgebung “Surface_reflec” zusammen (Gleichung 18).

Surface_diffuse = Surface_sky + Surface_reflec                                                                     (18)
 

Die diffuse Himmelstrahlung “Surface_sky”:

Die Bestrahlungsstärke der diffusen Strahlung vom Himmel auf eine geneigte Fläche ”Surface_sky” ist von der diffusen Strahlung auf die Horizontale ”Horizontal_sky” (Glaeichung 14) und dem Verhältnis ”R_sky” abhängig (Gleichung 19).

Surface_sky = Horizontal_sky * R_sky                                                                                     (19)

Berechnen der Verhältniszahl R-nach GUSEV für senkrechte Flächen bei klarem Himmel ”R_sky”:

Das Verhältnis zwischen der diffusen Bestrahlungsstärke auf eine geneigte Fläche und einer horizontale Fläche ist ”R_sky”. ”R_sky” ist von der Sonnenhöhe ”Elevation_deg” sowie von der Differenz ”Alf_diff” zwischen dem Flächenazimut ”Surface_Azimuth_rad” und dem Azimut der Sonne ”Azimuth_rad” abhängig (Gleichung 21).

Alf_diff= abs(math.degrees(Azimuth_rad - Surface_Azimuth_rad))                                      (21)

Werte für ”R_sky” für senkrechte Flächen (Surface_Tilt_rad= π  /2 = 90°) sind für Paarungen ”Alf_diff“/“Elevation_deg“ in Schritten von 15 °nach DIN 5034-2, 2021 in der Tabelle 3 gegeben.

Tabelle 1: ”R _sky“-Werte für Paarungen ”Alf_diff“/“Elevation_deg“ in Schritten von 15°

Zum Berechnen von ”R_sky”-Werten mit linearer Interpolation, für Winkel zwischen den 15° Schritten in Tabelle 1 werden die 4 ”R_sky” Werte benutzt, zwischen denen die vorliegende Paarung ”Elevation_deg” und ”Alf_diff“ liegt.

Das Programm berechnet aus der vorliegenden Sonnenhöhe ”Elevation_deg” die Zahl der Spalten ”I1” und ”I2”die rechts und links von ”Elevation_deg” liegen und daraus die Differenz der Sonnenhöhe ”Elev_diff”:

I1 = math.floor((Elevation_deg) / 15)
I2 = I1 + 1
if I2 > 6: I1 = I2 = 6
Elev_diff = Elevation_deg - I1 * 15

Beispiel:
Für ”Elevation_deg”= 40° wären das I1=2 und I2=3 und für Elev_diff= 40-2*15=10°
 

Das Programm berechnet aus der vorliegenden Differenz “abs((math.degrees((Azimuth_rad - Surface_Azimuth_rad)“ die Zahlen der Zeilen ”J1” und ”J2”die unter und über “abs((math.degrees((Azimuth_rad - Surface_Azimuth_rad)“ liegen und daraus ”Alf_diff”:

J1 = math.floor(abs((math.degrees((Azimuth_rad - Surface_Azimuth_rad)) / 15)))
J2 = J1 + 1
if J2 > 12: J1 = J2 = 12

Alf_diff = abs(math.degrees(Azimuth_rad - Surface_Azimuth_rad)) - J1 * 15

Beispiel:
Für ”Alf_diff”= 65° wären das J1=4 und J2=5 und für Alf_diff= 65-4*15=5°
 

Anschließend werden aus dem Feld “GUSEV“ , die in Tabelle 1wiedergegeben ist, die Werte I1, I2, J1 und J2 aus für”R_sky” ausgelesen und aus diesen der arithmetische Mittelwert für ”R_sky” für das vorliegende Paar ”Elevation_deg”/”Alf_diff” berechnet (siehe unten).

Reflexion von der Umgebung “Surface_reflec“:

Eine geneigte Fläche wird nicht nur von der Sonne und vom Himmel (diffuse Strahlung), bestrahlt, sondern sie erhält auch Strahlung, die am Boden reflektiert wird.

Surface_reflec = Horizontal_global * 0.5 * Reflection_ground * (1 - math.cos(Surface_Tilt_rad))         (22)
 

Der vom Boden reflektierte Strahlungsanteil “Surface_reflec“ wird nach Gleichung 22 mit folgenden Variablen berechnet:

”Horizontal_global” ist die Globalbestrahlungsstärke nach (Gleichung 11)

“Reflection_ground“ ist der Strahlungsreflexionsgrad des Bodens für Globalstrahlung und wird im Allgemeinen als 0,2 angenommen.

Die Zahl 0,5 resultiert aus dem Einheitswinkel des Blickfeldes vom Boden zum Himmel. Dieses ist bei ungestörter flacher Umgebung eine Halbkugel und damit 0,5.

Die Neigung der Fläche “Surface_Tilt_rad“ wird deshalb mit dem Cosinus berücksichtigt, da die vom Boden reflektierte Strahlungsstärkevom Cosinus der Neigung der Fläche abhängig ist.

Beispiel:
Für eine horizontale Fläche mit der Neigung von 0° ist (cos 0° = 1) und damit entspricht der vom Boden  reflektierte Strahlungsanteil in (Gleichung 22) zahlenmäßig dem Wert von  0. Damit gelangt keine reflektierte Strahlung vom Boden auf eine horizontale Fläche.

Für eine senkrechte Fläche mit der Neigung von 90° ist (cos 90° = 09 und damit entspricht der vom Boden  reflektierte Strahlungsanteil  (0,2 · 0,5 · Globalbestrahlungsstärke).

Ergebnisse / Input - Output

C:\python.exe C:/Python/PROGRAMME/SunDaily.py
Number of day (from 1 to 365): 180
To calculate the local time. Time zone for Germany at wintertime: 1 and for summertime: 2
Time zone: 2
Surface azimuth in degrees (east 90°, south 180°, west 270°, North 360°): 180
Latitude in degrees: 49
Longitude in degrees: 9
Height from sea level in m: 120
Proposed turbidity factor acc. to Linke: 6.1
Turbidity factor acc. to Linke: 6
Solar constant : 1323
Surface tilt angle : 90

                               Degrees                       Irradiance in W/m²                     
Local time(LT)  True time(TT)   Zenith(Z)   Azimuth(A)    Normal   Horizontal  HorizontalHorizontal   Surface     R_Sky Direct    DirectSky         Global      Total   

Daily Global horizontal radiant exposure =   7.20 kWh/m²/day

Daily Total radiant exposure to surface =      3.69 kWh/m²/day

Process finished with exit code 0

In Abbildung 1 sind für den Tag 180 die horizontale Globalstrahlung sowie die Strahlung auf senkrechte Flächen, orientiert nach Osten, Süden, Westen und Norden graphisch wiedergegeben. Hier ist besonders auf den Kurvenverlauf der Strahlung auf die senkrechten Flächen gerichtet nach Norden hinzuweisen, die im Zeitraum von 9 bis 17 Uhr Wahre Ortszeit auf die diffuse Einstrahlung beruht.

Abbildung 1: Die mit dem Programm SunDaily.py berechnete Globalbestrahlungsstärke (blau Kurve) sowie Bestrahlungsstärke auf verschiedene senkrechte Flächen am Tag 180 gemäß Protokoll oben

In Abbildung 2 ist die Bestrahlungsstärke auf eine senkrechte nach Süden orientierte Fläche am Tag 180 gemäß Protokoll oben gegeben. Aus dieser Abbildung ist zu sehen, dass bis 07:30 wahrte Ortszeit die Bestrahlungsstärke aus der diffusen Strahlung besteht, um danach mit zunehmendem Anteil der direkten Bestrahlung der Fläche zu steigen. Nach 16:30 wahrer Ortszeit besteht die Bestrahlung wieder aus dem diffusen Anteil der Himmelsstrahlung und der Reflektion von der Umgebung.

Abbildung 2: : Die mit dem Programm „SunDaily.py“ berechnete gesamte Bestrahlungsstärke im Vergleich zur diffusen Bestrahlungsstärke auf eine senkrechte nach Süden orientierte Fläche am Tag 180 gemäß Protokoll oben

Anlage

Mittlere monatlichen Trübungsfaktoren T_L in der Bundesrepublik Deustchland für die Atmosphäre mit geringer Trübung [1] aus DIN 5034-2:2021-08 Tabelle 1

Mittlere monatlichen Trübungsfaktoren T_L in der Bundesrepublik Deustchland für verschmutzte Atmosphäre [2] aus DIN 5034-2:2021-08 Tabelle 2

[1] S. Aydinli, K. Behrens, J. Masuch und W. Riecke: Die Entwicklung der atmosphärischen Trübung in Deutschland— Konsequenzen für die Solarstrahlung. HLH 02, 21-25, 2016

[2] F. Kasten: Strahlungsaustausch zwischen Oberflächen und Atmosphäre, VDI Berichte 721, 131- 158. 1989

Kontakt zu Dr. Sırrı Aydınlı: Fachgebiet Lichttechnik der TU Berlin, sirri.aydinli@tu-berlin.de